mathématiques MPSI · Chapitre 16 · Application directe du cours

Taylor-Lagrange en action

Intégration · E. Formules de Taylor globales · niveau 3 (difficile)

Énoncé

À l'aide de l'inégalité de Taylor-Lagrange appliquée à $exp$ sur $[0, 1]$ , déterminer $n$ tel que $\sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k !}$ approche $e$ à $1 0^{- 6}$ près.

Corrigé

$exp^{(n + 1)} \leq 3$ sur $[0, 1]$ , d'où $e - k = 0 \sum n \frac{1}{k !} \leq \frac{3}{( n + 1 )!} .$ $10! = 3628800 \geq 3 \times 1 0^{6}$ : $n = 9$ suffit. Neuf termes pour six décimales — et certifiées, ce que Taylor-Young (local !) n'aurait jamais permis d'affirmer.

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