Une suite d'intégrales

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 16 — Intégration · D. Théorème fondamental et suites d'intégrales

Énoncé

Pour $I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} e^{x} d x$ : montrer que $I_{n} \to 0$ , établir une relation entre $I_{n + 1}$ et $I_{n}$ , et en déduire un équivalent.

Corrigé

Limite : $0 \leq I_{n} \leq \frac{e}{n + 1} \to 0$ . Relation (IPP) : $I_{n + 1} = e - (n + 1) I_{n}$ . Équivalent : $(n + 1) I_{n} = e - I_{n + 1} \to e$ , donc $I_{n} \sim \frac{e}{n} .$

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