mathématiques MPSI · Chapitre 16 · Application directe du cours

Uniformément continue ou pas ?

Intégration · A. Continuité uniforme · niveau 1 (application)

Énoncé

Montrer que $x \mapsto x$ est uniformément continue sur $[0, + \infty [$ , mais que $x \mapsto x^{2}$ ne l'est pas sur $R$ .

Corrigé

Racine : $x - y \leq ∣ x - y ∣$ (élever au carré) : $δ = ε^{2}$ convient pour tous $x, y$ — uniformément continue, sans être lipschitzienne près de 0.

Carré : avec $x_{n} = n$ , $y_{n} = n + \frac{1}{n}$ : $∣ x_{n} - y_{n} ∣ \to 0$ mais $∣ x_{n}^{2} - y_{n}^{2} ∣ \geq 2$ : aucun $δ$ ne convient pour $ε = 1$ .

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