Combien d'anagrammes le mot ANANAS possède-t-il ? Généraliser à un mot…

Stratégie : « marquer puis diviser ». On rend d'abord les lettres identiques discernables (ce qu'on sait compter), puis on divise par le nombre de marquages qui donnent le même mot.

1) Le comptage marqué. ANANAS a $6$ lettres : trois A, deux N, un S. Marquons-les : ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3{\mathrm{N}}_1{\mathrm{N}}_2\mathrm{S}$. Les mots à lettres marquées sont les permutations de $6$ objets distincts : il y en a $6!=720$.

2) La division. Effaçons les marques. Deux mots marqués donnent le même mot de l'alphabet $\{A,N,S\}$ si et seulement si ils se déduisent l'un de l'autre en permutant les $\mathrm{A}$ entre eux et les $\mathrm{N}$ entre eux : chaque anagramme est donc obtenu exactement $$3!\times 2!\times 1!=12\text{fois}$$ D'où $$\text{nombre d’anagrammes de ANANAS}=\frac{6!}{3!2!1!}=\frac{720}{12}=\boxed{60}$$

⚠️ Le point délicat : on n'a le droit de diviser que parce que toutes les fibres ont le même cardinal. L'application « effacer les marques » va des $720$ mots marqués vers les anagrammes, et chaque anagramme a exactement $12$ antécédents — ni plus ni moins. C'est la relation de division ; dès que les fibres sont de tailles inégales (voir la remarque du n° 5 sur les colliers), elle tombe et il faut compter autrement.

3) Une seconde voie, sans division : choisir les places. On choisit les $3$ places des A parmi les $6$ : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=20$ ; puis les $2$ places des N parmi les $3$ restantes : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=3$ ; le S occupe la dernière : $1$ façon. Total $20\times 3=60$ ✓. Les deux méthodes se rejoignent, et la seconde explique la formule : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1}\right)=\frac{6!}{3!2!1!}$.

4) Le cas général et MISSISSIPPI. Pour un mot de $n$ lettres dont les lettres distinctes apparaissent $n_1,\dots ,n_r$ fois (avec $n_1+\cdots +n_r=n$) : $$\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_r!}$$ MISSISSIPPI : $11$ lettres, $\mathrm{M}\times 1$, $\mathrm{I}\times 4$, $\mathrm{S}\times 4$, $\mathrm{P}\times 2$, d'où $$\frac{11!}{1!4!4!2!}=\frac{39916800}{1152}=34650$$

Contrôle. Génération exhaustive des $720$ permutations des six lettres de ANANAS, puis suppression des doublons : il reste exactement $60$ mots distincts ✓.

Ce que l'exercice installe : le coefficient multinomial $\frac{n!}{n_1!\cdots n_r!}$. On le retrouvera tel quel au n° 6 pour distribuer $32$ cartes en quatre mains — et ce n'est pas une coïncidence : distribuer, c'est écrire un mot.