Bayes et le test médical

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 19 — Probabilités sur un univers fini · B. Conditionnement et formule de Bayes

Énoncé

Une maladie touche 1 % de la population. Un test la détecte chez 99 % des malades, mais se déclenche à tort chez 5 % des sains. Une personne est testée positive : probabilité qu'elle soit malade ?

Corrigé

Probabilités totales : $P (T) = 0, 99 \times 0, 01 + 0, 05 \times 0, 99 = 0, 0594$ , puis Bayes : $P (M ∣ T) = \frac{0 , 0099}{0 , 0594} = \frac{1}{6} \approx 17 %.$ Cinq positifs sur six sont de faux positifs : quand la maladie est rare, les faux positifs des sains écrasent les vrais positifs. Bayes renverse le conditionnement — et l'intuition.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.