Probabilités sur un univers fini

Un univers $\Omega$ (ici fini) modélise l'ensemble des issues possibles d'une expérience aléatoire. Le vocabulaire des probabilités traduit le vocabulaire ensembliste du chapitre 1 :

Une variable aléatoire est une application $X:\Omega \to E$ (aucune autre condition dans le cadre fini !). Pour $A\subset E$ et $x\in E$, on note

$$\{X\in A\}=(X\in A)=\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in A\},(X=x),(X\le x),\text{etc.}$$

Ce sont des événements : toute la pratique consiste à raisonner sur ces événements, sans presque jamais revenir aux $\omega$.

Une probabilité sur l'univers fini $\Omega$ est une application $P:\mathcal{P}(\Omega )\to [0,1]$ telle que $P(\Omega )=1$ et $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ pour $A,B$ incompatibles. Le couple $(\Omega ,P)$ est un espace probabilisé fini. On note $P(X\in A)$, $P(X=x)$, $P(X\le x)$ les probabilités des événements correspondants.

Une distribution de probabilités sur un ensemble fini $E$ est une famille $(p_x{)}_{x\in E}$ de réels positifs de somme $1$. Une probabilité $P$ sur $\Omega$ est entièrement déterminée par la distribution $(P(\{\omega \}){)}_{\omega \in \Omega }$ : pour tout événement, $P(A)={\sum }_{\omega \in A}P(\{\omega \})$.

La probabilité uniforme sur $\Omega$ donne à chaque issue le même poids $\frac{1}{|\Omega |}$ ; alors

$$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}=\frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}:$$

tout calcul de probabilité uniforme est un quotient de deux dénombrements — le chapitre 18 est la salle des machines.

Si $P(B)>0$, la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est

$$P(A\mid B)=P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}:$$

on re-normalise l'information « $B$ s'est produit ». L'application $P_B$ est elle-même une probabilité sur $\Omega$. Par convention, $P(A\mid B)P(B)=0$ lorsque $P(B)=0$.

La loi d'une variable aléatoire $X:\Omega \to E$ est la probabilité $P_X$ sur $E$ déterminée par la distribution $(P(X=x){)}_{x\in E}$. On note $X\sim Y$ lorsque $P_X=P_Y$ (même loi — ce qui n'impose pas $X=Y$ !). Pour toute fonction $f$, $f(X)$ est une variable aléatoire, et $X\sim Y⟹f(X)\sim f(Y)$. On définit aussi la loi conditionnelle de $X$ sachant un événement $A$ : la distribution $(P(X=x\mid A){)}_x$.

• Loi uniforme sur un ensemble fini non vide $E$, notée $X\sim \mathcal{U}(E)$ : $P(X=x)=\frac{1}{|E|}$ pour tout $x\in E$ (le dé équilibré).
• Loi de Bernoulli de paramètre $p\in [0,1]$, notée $X\sim \mathcal{B}(p)$ : $X$ à valeurs dans $\{0,1\}$ avec $P(X=1)=p$ — le succès d'une expérience (et $1_A\sim \mathcal{B}(P(A))$ pour tout événement $A$).
• Loi binomiale de paramètres $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $p\in [0,1]$, notée $X\sim \mathcal{B}(n,p)$ : à valeurs dans $\{0,\dots ,n\}$ avec

$$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$$

— le nombre de succès en $n$ expériences indépendantes (théorème plus bas) ; le coefficient $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ compte les positions des succès (chapitre 18), et la somme des $P(X=k)$ vaut $1$ par la formule du binôme.

Un couple $(X,Y)$ de variables aléatoires est une variable aléatoire à valeurs dans un produit $E\times F$. Sa loi conjointe est la distribution $(P(X=x,Y=y){)}_{(x,y)}$ ; les lois marginales (celles de $X$ et de $Y$) s'en déduisent en sommant :

$$P(X=x)=\sum _{y}P(X=x,Y=y)$$

(mais la conjointe ne se déduit pas des marginales en général !). Extension immédiate aux $n$-uplets $(X_1,\dots ,X_n)$ — le bon cadre pour décrire toute situation probabiliste finie.

$A$ et $B$ sont indépendants si $P(A\cap B)=P(A)P(B)$. Lorsque $P(B)>0$, cela équivaut à $P(A\mid B)=P(A)$ : savoir $B$ n'apprend rien sur $A$. Une famille finie $(A_1,\dots ,A_n)$ est indépendante (mutuellement) si pour toute sous-famille, la probabilité de l'intersection est le produit des probabilités.