mathématiques MPSI · Chapitre 19 · Application directe du cours

La loi des grands nombres au travail

Probabilités sur un univers fini · E. Inégalités et concentration · niveau 3 (difficile)

Énoncé

On estime la probabilité $p$ d'une pièce par la fréquence $f_{n}$ sur $n$ lancers. Combien de lancers garantissent $P (∣ f_{n} - p ∣ \geq 0, 05) \leq 5 %$ ?

Corrigé

Variance d'une Bernoulli $\leq \frac{1}{4}$ , donc quel que soit $p$ : $P (∣ f_{n} - p ∣ \geq 0, 05) \leq \frac{1/4}{n \times 0 , 0025} = \frac{100}{n} \leq 0, 05 ⟺ n \geq 2 000.$ La borne vaut pour chaque $n$ , sans connaître $p$ : l'approche fréquentiste justifiée et quantifiée — on sait combien d'observations acheter pour une précision donnée.

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