mathématiques MPSI · Chapitre 19 · Application directe du cours

Marche aléatoire et concentration

Probabilités sur un univers fini · E. Inégalités et concentration · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un marcheur fait $n$ pas indépendants $\pm 1$ équiprobables. Calculer $E (S_{n})$ , $V (S_{n})$ , puis majorer $P (∣ S_{n} ∣ \geq 10 n)$ .

Corrigé

$E (S_{n}) = 0$ par linéarité ; $V (S_{n}) = n$ par additivité (indépendance). Bienaymé-Tchebychev : $P (∣ S_{n} ∣ \geq 10 n) \leq \frac{n}{100 n} = \frac{1}{100} .$ L'écart typique croît comme $n$ , pas comme $n$ : le phénomène de concentration, cœur des marches aléatoires et de la diffusion.

100 % gratuit

Essaie le suivant avec le tuteur

L'exercice suivant avec le tuteur, sans compte : il guide pas à pas, sans donner la réponse
19 autres exercices corrigés dans ce chapitre, et 20 à chercher avec le tuteur
Les 2 QCM du chapitre, le premier sans compte
Le podcast et la vidéo du chapitre et la correction filmée du TD : 2 minutes sans compte

Faire l'exercice suivant avec le tuteur

Sans compte : le cours, le premier QCM, 2 minutes de podcast et de vidéo et un exercice avec le tuteur. Pour tout le reste : inscription gratuite en 30 secondes, sans carte bancaire.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Exercice suivant avec le tuteur →