Marche aléatoire et concentration

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · mathématiques MPSI, chapitre 19 — Probabilités sur un univers fini · E. Inégalités et concentration

Énoncé

Un marcheur fait $n$ pas indépendants $\pm 1$ équiprobables. Calculer $E (S_{n})$ , $V (S_{n})$ , puis majorer $P (∣ S_{n} ∣ \geq 10 n)$ .

Corrigé

$E (S_{n}) = 0$ par linéarité ; $V (S_{n}) = n$ par additivité (indépendance). Bienaymé-Tchebychev : $P (∣ S_{n} ∣ \geq 10 n) \leq \frac{n}{100 n} = \frac{1}{100} .$ L'écart typique croît comme $n$ , pas comme $n$ : le phénomène de concentration, cœur des marches aléatoires et de la diffusion.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.