Module et argument

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques MPSI, chapitre 3 — Nombres complexes · E. Équations algébriques

Énoncé

Déterminer le module et un argument de : $z_{1} = - 1 + i 3, z_{2} = \frac{1 + i}{1 - i 3}, z_{3} = - 5.$

Corrigé

$∣ z_{1} ∣ = 1 + 3 = 2$ et $z_{1} = 2 (- \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}) = 2 e^{2 iπ /3}$ : argument $\frac{2 π}{3}$ .

Pour $z_{2}$ : $1 + i = 2 e^{iπ /4}$ et $1 - i 3 = 2 e^{- iπ /3}$ , donc : $z_{2} = \frac{2}{2} e^{i (\frac{π}{4} + \frac{π}{3})} = \frac{2}{2} e^{7 iπ /12} : ∣ z_{2} ∣ = \frac{2}{2}, ar g z_{2} \equiv \frac{7 π}{12} [2 π] .$ Enfin $z_{3} = 5 e^{iπ}$ : module $5$ , argument $π$ (un réel strictement négatif a pour argument $π$ ).

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