mathématiques MPSI · Chapitre 3 · Application directe du cours

Racines quatrièmes

Nombres complexes · F. Racines $n$ -ièmes de l'unité · niveau 2

Énoncé

Résoudre dans $C$ l'équation $z^{4} = - 4$ et représenter les solutions.

Corrigé

Écrivons $- 4 = 4 e^{iπ}$ . Les racines quatrièmes sont : $z_{k} = 4^{1/4} e^{i (\frac{π}{4} + \frac{k π}{2})} = 2 e^{i (\frac{π}{4} + \frac{k π}{2})}, k \in {0, 1, 2, 3} .$ Comme $2 e^{iπ /4} = 1 + i$ , les quatre solutions sont : $1 + i, - 1 + i, - 1 - i, 1 - i :$ les sommets d'un carré de centre $O$ . Vérification immédiate : $(1 + i)^{2} = 2 i$ , donc $(1 + i)^{4} = (2 i)^{2} = - 4$ .

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