Étude de fonction et extremum

Exercice classique · niveau 1 (application) · mathématiques MPSI, chapitre 4 — Calcul différentiel et intégral · C. Exponentielle, logarithmes, puissances

Énoncé

Étudier les variations de $f (x) = \frac{ln x}{x}$ sur $] 0, + \infty [$ , et en déduire une comparaison de $e^{π}$ et $π^{e}$ .

Corrigé

$f$ est dérivable et $f^{'} (x) = \frac{1 - ln x}{x ^{2}}$ , du signe de $1 - ln x$ : $f$ croît sur $] 0, e]$ , décroît sur $[e, + \infty [$ , avec un maximum $f (e) = \frac{1}{e}$ (limites : $- \infty$ en $0^{+}$ , $0$ en $+ \infty$ par croissances comparées).

Comme $π \neq = e$ , le maximum strict donne $f (π) < f (e)$ , soit $\frac{ln π}{π} < \frac{1}{e}$ , donc $e ln π < π$ , c'est-à-dire $ln (π^{e}) < ln (e^{π})$ et enfin : $π^{e} < e^{π} .$

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