Intégration par parties

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 4 — Calcul différentiel et intégral · E. Calcul de primitives et d'intégrales

Énoncé

Calculer $I = \int_{0}^{1} x^{2} e^{x} d x$ et $J = \int_{0}^{1} Arctan x d x$ .

Corrigé

Pour $I$ , deux intégrations par parties successives (on dérive le polynôme) : $I = [x^{2} e^{x}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x e^{x} d x = e - 2 ([x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x) = e - 2.$ Pour $J$ , on dérive $Arctan$ et on primitive $1$ : $J = [x Arctan x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = \frac{π}{4} - \frac{ln 2}{2} .$

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