mathématiques MPSI · Chapitre 4 · Application directe du cours

Primitives à vue

Calcul différentiel et intégral · F. Équations différentielles du premier ordre · niveau 1 (application)

Énoncé

Déterminer une primitive de chacune des fonctions : $f_{1} (x) = x e^{x^{2}}, f_{2} (x) = \frac{1}{1 + 4 x ^{2}}, f_{3} (x) = sin x cos^{4} x, f_{4} (x) = \frac{x}{1 - x ^{4}} .$

Corrigé

$\int^{x} f_{1} = \frac{1}{2} e^{x^{2}}, \int^{x} f_{2} = \frac{1}{2} Arctan (2 x), \int^{x} f_{3} = - \frac{cos ^{5} x}{5},$ les deux premières par reconnaissance de $u^{'} e^{u}$ et $\frac{u ^{'}}{1 + u ^{2}}$ (avec $u = 2 x$ ), la troisième par $u^{'} u^{4}$ avec $u = cos x$ . Pour $f_{4}$ , poser $u = x^{2}$ : $f_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{u ^{'}}{1 - u ^{2}}$ , d'où : $\int^{x} f_{4} = \frac{1}{2} Arcsin (x^{2}) .$

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