L'ordre des quantificateurs n'est pas indifférent

1. « Pour tout réel $x$, il existe un réel $y$ tel que $x+y=0$. » Cette proposition est vraie : $x$ étant donné, il suffit de prendre $y=-x$, qui dépend de $x$ — ce à quoi l'ordre des quantificateurs donne le droit. 2. « Il existe un réel $y$ tel que, pour tout réel $x$, $x+y=0$. » Cette proposition est fausse : elle réclame un même $y$ convenant à tous les $x$ à la fois. Si un tel $y$ existait, $x=0$ donnerait $y=0$, et $x=1$ donnerait $y=-1$ : contradiction. Règle à retenir : on ne permute pas $\forall$ et $\exists$. Dans $\forall x,\exists y$, le $y$ peut dépendre de $x$ ; dans $\exists y,\forall x$, il est choisi d'abord, donc uniforme.