Les symboles ∀ (« pour tout ») et ∃ (« il existe ») ne sont pas…

Exercice supplémentaire · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 1 — Vocabulaire ensembliste et logique · Logique formelle et tables de vérité

Énoncé

Les symboles $\forall$ (« pour tout ») et $\exists$ (« il existe ») ne sont pas exigibles en première, mais ils sont universels en mathématiques.

Traduire en français : $\forall x \in R, x^{2} \geq 0$ ; \ $\exists n \in N, n^{2} = 49$ ; $\forall n \in N, \exists m \in N, m > n$ .
Traduire en symboles : « tout réel non nul admet un inverse » ; « la suite $(u_{n})$ prend au moins une fois la valeur $3$ ».

Corrigé

1. « Le carré de tout réel est positif ou nul. » — « Il existe un entier naturel dont le carré vaut $49$ » (à savoir $n = 7$ ). — « Quel que soit l'entier naturel $n$ , il en existe un plus grand » : il n'y a pas de plus grand entier. 2. « Tout réel non nul admet un inverse » s'écrit

$\forall x \in R, x \neq = 0 \Rightarrow (\exists y \in R, x y = 1),$

et « la suite $(u_{n})$ prend au moins une fois la valeur $3$ » s'écrit $\exists n \in N, u_{n} = 3$ . Confort d'écriture : les symboles ne créent aucune mathématique nouvelle, mais ils rendent visible la structure — et donc la négation, qui consiste à échanger $\forall$ et $\exists$ tout en niant la conclusion.

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