mathématiques (première) · Chapitre 1 · Application directe du cours

Réfuter chacune des propositions suivantes par un contre-exemple

Vocabulaire ensembliste et logique · Statut des lettres, quantifications et négations · niveau 1 (application)

Énoncé

Réfuter chacune des propositions suivantes par un contre-exemple :

« Pour tout réel $x$ , $x^{2} \geq x$ . »
« Pour tout réel $a$ , $a^{2} = a$ . »
« Tout nombre premier est impair. »

Corrigé de la question 1

1. $x = 0, 5$ : $x^{2} = 0, 25 < 0, 5$ . (L'inégalité n'est en défaut que sur $] 0; 1 [$ , mais une seule valeur suffit à réfuter.)

Question 2 : comment l'IA t'aide

2. « Pour tout réel $a$ , $a^{2} = a$ . »

Élève

Pour la question 1, on a pris $x = 0, 5$ . Ici, pour réfuter, il faut trouver un réel $a$ pour lequel l'égalité est fausse, c'est bien ça ?

Oui, c'est le principe du contre-exemple. Avant de chercher une valeur, rappelle ce que vaut $a^{2}$ selon le signe de $a$ , et ce que vaut toujours $x$ d'un nombre positif.

Élève

Le carré est toujours positif, donc $a^{2} \geq 0$ et la racine existe toujours. Mais je ne vois pas trop quel type de nombre essayer : j'ai testé $a = 2$ , et là ça marche.

Tu as raison, avec $a = 2$ l'égalité tient. Compare maintenant $a$ et $a^{2}$ pour un réel négatif : que peux-tu dire du signe de $a^{2}$ face à celui de $a$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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