Réfuter chacune des propositions suivantes par un contre-exemple

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques (première), chapitre 1 — Vocabulaire ensembliste et logique · Statut des lettres, quantifications et négations

Énoncé

Réfuter chacune des propositions suivantes par un contre-exemple :

« Pour tout réel $x$ , $x^{2} \geq x$ . »
« Pour tout réel $a$ , $a^{2} = a$ . »
« Tout nombre premier est impair. »

Corrigé

1. $x = 0, 5$ : $x^{2} = 0, 25 < 0, 5$ . (L'inégalité n'est en défaut que sur $] 0; 1 [$ , mais une seule valeur suffit à réfuter.)<br> 2. $a = - 3$ : $(- 3)^{2} = 9 = 3 \neq = - 3$ . L'égalité correcte est $a^{2} = ∣ a ∣$ .<br> 3. $2$ est premier et pair.

Contrôle : chaque contre-exemple est une valeur précise pour laquelle on vérifie que la propriété tombe en défaut — un contre-exemple qu'on ne vérifie pas ne réfute rien.

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