Soit un entier naturel

Disjonction des cas — les deux cas couvrent bien toutes les situations.

Si $n$ est pair, $n=2k$ avec $k$ entier, donc $n(n+1)=2k(n+1)$ est le double d'un entier : il est pair.

Si $n$ est impair, $n=2k+1$, donc $n+1=2k+2=2(k+1)$, et $n(n+1)=2n(k+1)$ est encore le double d'un entier : il est pair.

Dans les deux cas $n(n+1)$ est pair. $\square$

Contrôle : parmi deux entiers consécutifs, l'un au moins est pair — la disjonction ne fait que rédiger cette évidence.