Soit un entier naturel

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 1 — Vocabulaire ensembliste et logique · Implication et disjonction des cas

Énoncé

Soit $n$ un entier naturel. En distinguant les cas « $n$ pair » et « $n$ impair », démontrer que le produit $n (n + 1)$ est toujours pair.

Corrigé

Disjonction des cas — les deux cas couvrent bien toutes les situations.

Si $n$ est pair, $n = 2 k$ avec $k$ entier, donc $n (n + 1) = 2 k (n + 1)$ est le double d'un entier : il est pair.

Si $n$ est impair, $n = 2 k + 1$ , donc $n + 1 = 2 k + 2 = 2 (k + 1)$ , et $n (n + 1) = 2 n (k + 1)$ est encore le double d'un entier : il est pair.

Dans les deux cas $n (n + 1)$ est pair. $□$

Contrôle : parmi deux entiers consécutifs, l'un au moins est pair — la disjonction ne fait que rédiger cette évidence.

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