Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse par une démonstration ou par…

1. Faux. Les nombres $2+\sqrt{2}$ et $2-\sqrt{2}$ sont irrationnels (sinon $\sqrt{2}$ le serait aussi, comme différence de deux rationnels), et leur somme vaut $4$, qui est rationnel. Un contre-exemple suffit.

2. Faux. $\sqrt{2}\times \sqrt{2}=2$ est rationnel.

3. Vrai, et cette fois un exemple ne suffit pas : la proposition est universelle, il faut une démonstration. Soit $r$ un rationnel et $x$ un irrationnel. Raisonnons par l'absurde : supposons que $s=r+x$ soit rationnel. Alors

$$x=s-r$$

serait une différence de deux rationnels, donc un rationnel — ce qui contredit l'hypothèse « $x$ irrationnel ». Donc $r+x$ est irrationnel. $\square$

Contrôle : les questions 1 et 2 se réfutent par un seul contre-exemple, la question 3 exige une preuve — c'est exactement la dissymétrie annoncée par la méthode du contre-exemple.