Dans un lycée, des élèves sont en seconde, en première et en terminale

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 10 — Probabilités conditionnelles et indépendance · Conditionner, croiser, inverser

Énoncé

Dans un lycée, $40 %$ des élèves sont en seconde, $35 %$ en première et $25 %$ en terminale. Sont demi-pensionnaires $60 %$ des élèves de seconde, $45 %$ de ceux de première et $30 %$ de ceux de terminale. On choisit un élève au hasard.

Quelle est la probabilité qu'il soit demi-pensionnaire ?
Sachant qu'il est demi-pensionnaire, quelle est la probabilité qu'il soit en seconde ?

Corrigé

Notons $S$ , $P$ , $T$ les trois niveaux (ils forment une partition de l'univers) et $D$ l'événement « demi-pensionnaire ».

1. Formule des probabilités totales :

$P (D) = 0, 40 \times 0, 60 + 0, 35 \times 0, 45 + 0, 25 \times 0, 30$

$= 0, 2400 + 0, 1575 + 0, 0750 = 0, 4725.$

2. Inversion du conditionnement :

$P_{D} (S) = \frac{P ( S \cap D )}{P ( D )} = \frac{0 , 2400}{0 , 4725} \approx 0, 508.$

Contrôle : en calculant de même $P_{D} (P) \approx 0, 333$ et $P_{D} (T) \approx 0, 159$ , la somme des trois vaut $1$ ✓ — normal, ${S, P, T}$ reste une partition lorsqu'on conditionne par $D$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.