On donne, et. Calculer, et. Les événements et sont-ils indépendants?

Exercice d'entraînement · niveau 1 (application) · mathématiques (première), chapitre 10 — Probabilités conditionnelles et indépendance · Conditionnement, tableaux et formules

Énoncé

On donne $P (A) = 0, 3$ , $P_{A} (B) = 0, 4$ et $P (B) = 0, 5$ . Calculer $P (A \cap B)$ , $P (A \cup B)$ et $P_{B} (A)$ . Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Corrigé

Intersection. Par la règle du produit :

$P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B) = 0, 3 \times 0, 4 = 0, 12.$

Réunion. Formule du crible (chapitre 1) :

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) = 0, 3 + 0, 5 - 0, 12 = 0, 68.$

Conditionnement inverse.

$P_{B} (A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} = \frac{0 , 12}{0 , 5} = 0, 24.$

Indépendance ? $P (A) \times P (B) = 0, 3 \times 0, 5 = 0, 15 \neq = 0, 12$ : les événements ne sont pas indépendants.

Contrôle : on le voit aussi bien sur $P_{A} (B) = 0, 4 \neq = P (B) = 0, 5$ , ou sur $P_{B} (A) = 0, 24 \neq = P (A) = 0, 3$ — savoir que l'un est réalisé rend l'autre moins probable.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.