On lance deux dés équilibrés

L'univers est formé des $36$ couples équiprobables.

$A$ et $B$. $P(A)=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$ (le premier dé est impair une fois sur deux). La somme est paire lorsque les deux dés ont la même parité, soit $18$ couples : $P(B)=\frac{1}{2}$. Enfin $A\cap B$ impose « premier impair et second impair », soit $3\times 3=9$ couples :

$$P(A\cap B)=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=P(A)P(B):A\text{ et }B\text{ sont indeˊpendants}.$$

$A$ et $C$. La somme vaut $6$ pour les couples $(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)$ : $P(C)=\frac{5}{36}$. Parmi eux, trois ont un premier dé impair — $(1,5),(3,3),(5,1)$ :

$$P(A\cap C)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}=\frac{6}{72},P(A)P(C)=\frac{1}{2}\times \frac{5}{36}=\frac{5}{72}.$$

Les deux nombres diffèrent : $A$ et $C$ ne sont pas indépendants.

L'idée derrière les calculs : savoir que la somme est paire n'apprend rien sur la parité du premier dé (les deux parités restent également probables). En revanche, savoir que la somme vaut $6$ favorise légèrement un premier dé impair : $\frac{3}{5}$ contre $\frac{1}{2}$.

Piège : on ne peut pas deviner l'indépendance « à l'intuition ». Ici deux événements construits de la même façon donnent deux réponses opposées ; seul le calcul de $P(A\cap B)$ tranche.