Un questionnaire est rempli par personnes

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 10 — Probabilités conditionnelles et indépendance · Conditionnement, tableaux et formules

Énoncé

Un questionnaire est rempli par $400$ personnes : $120$ ont moins de $25$ ans, $180$ ont entre $25$ et $50$ ans, $100$ ont plus de $50$ ans. Le taux de réponse « oui » est respectivement de $65 %$ , $40 %$ et $25 %$ . Calculer la probabilité qu'une personne prise au hasard ait répondu « oui », puis la probabilité qu'elle ait moins de $25$ ans sachant qu'elle a répondu « oui ». (Un tableau d'effectifs suffit : tous les nombres en jeu sont entiers.)

Corrigé

Tableau d'effectifs. On applique chaque taux à son effectif : $0, 65 \times 120 = 78$ , $0, 40 \times 180 = 72$ , $0, 25 \times 100 = 25$ .

	« oui »	« non »	Total
Moins de $25$ ans	$78$	$42$	$120$
De $25$ à $50$ ans	$72$	$108$	$180$
Plus de $50$ ans	$25$	$75$	$100$
Total	$175$	$225$	$400$

Probabilité de répondre « oui ».

$P (O) = \frac{175}{400} = \frac{7}{16} = 0, 4375.$

(C'est exactement la formule des probabilités totales, $\frac{120}{400} \times 0, 65 + \frac{180}{400} \times 0, 40 + \frac{100}{400} \times 0, 25$ , mais menée sur des effectifs entiers.)

Conditionnement inverse.

$P_{O} (moins de 25 ans) = \frac{78}{175} \approx 0, 446.$

Contrôle : les trois probabilités inverses, $\frac{78}{175}$ , $\frac{72}{175}$ et $\frac{25}{175}$ , ont bien pour somme $1$ ✓.

Piège : les moins de $25$ ans ne représentent que $30 %$ de l'échantillon, mais près de $45 %$ des « oui » : c'est le taux de réponse le plus élevé qui les surreprésente.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.