Deux jeux ont la même espérance

Pour $X$ (valeurs $0$ et $10$).

$$E(X)=\frac{0+10}{2}=5,E(X^2)=0,5\times 0+0,5\times 100=50,$$

$$V(X)=50-5^2=25,\sigma (X)=5.$$

Pour $Y$ (valeurs $4$ et $6$).

$$E(Y)=\frac{4+6}{2}=5,E(Y^2)=0,5\times 16+0,5\times 36=26,$$

$$V(Y)=26-25=1,\sigma (Y)=1.$$

Contrôle par la définition : chaque valeur est à distance $5$ de la moyenne pour $X$, donc $V(X)=5^2=25$ ; à distance $1$ pour $Y$, donc $V(Y)=1$. ✓ (Pour une variable à deux valeurs équiprobables, l'écart type est exactement la demi-amplitude.)

Commentaire. Les deux jeux rapportent en moyenne la même chose, $5$ ; ils n'ont pourtant rien de comparable. $X$ est un jeu de tout ou rien, $Y$ un jeu presque sûr. Un joueur prudent choisit $Y$, un joueur qui vise le gros lot choisit $X$ — et l'espérance, seule, ne permet pas de trancher. C'est exactement le rôle de l'écart type : il mesure le risque là où l'espérance mesure le rendement.