Deux placements d'un an sont proposés

Variables aléatoires réelles · Espérance, dispersion et transformations affines · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Deux placements d'un an sont proposés.

Placement $A$ : gain de $100$ € avec probabilité $0, 5$ , perte de $40$ € avec probabilité $0, 5$ .
Placement $B$ : gain de $1000$ € avec probabilité $0, 05$ , perte de $20$ € avec probabilité $0, 95$ .

Calculer l'espérance et l'écart type du résultat de chaque placement.
Lequel choisir ? Discuter.

Corrigé

1. Pour $A$ : $E (A) = 0, 5 \times 100 + 0, 5 \times (- 40) = 30$ € ; $E (A^{2}) = 0, 5 \times 10000 + 0, 5 \times 1600 = 5800$ , donc $V (A) = 5800 - 900 = 4900$ et $σ (A) = 70$ €.

Pour $B$ : $E (B) = 0, 05 \times 1000 + 0, 95 \times (- 20) = 50 - 19 = 31$ € ; $E (B^{2}) = 0, 05 \times 1000000 + 0, 95 \times 400 = 50380$ , donc $V (B) = 50380 - 3 1^{2} = 49419$ et $σ (B) = 49419 \approx 222$ €.

2. Les deux espérances sont quasi identiques ( $30$ € contre $31$ €), mais l'écart type de $B$ est plus de trois fois celui de $A$ : $B$ est bien plus risqué. Il perd $20$ € dans $95 %$ des cas, et ne doit son espérance qu'à un gain rare et important. Le choix dépend donc de l'aversion au risque — l'espérance seule ne décide pas.

Contrôle : $E (B) = 31 > 0$ alors que $B$ perd de l'argent $19$ fois sur $20$ : c'est bien le signe qu'espérance et « résultat typique » sont deux choses différentes.