n° 209

Le commerçant vend $\min (D,x)$ journaux à $2$ € et en a acheté $x$ à $1$ € : son bénéfice est bien $B=2\min (D,x)-x$. Traitons les quatre cas.

$x=0$. Il n'achète rien : $B=0$ avec certitude, donc $E(B)=0$.

$x=1$. $\min (D,1)$ vaut $0$ si $D=0$ (probabilité $0,1$) et $1$ sinon (probabilité $0,9$) :

$$\begin{array}{ccc}b& -1& 1\\ P(B=b)& 0,1& 0,9\end{array}E(B)=-0,1+0,9=0,8.$$

$x=2$. $\min (D,2)$ vaut $0$ ($p=0,1$), $1$ ($p=0,3$) ou $2$ ($p=0,4+0,2=0,6$) :

$$\begin{array}{cccc}b& -2& 0& 2\\ P(B=b)& 0,1& 0,3& 0,6\end{array}E(B)=-0,2+0+1,2=1,0.$$

$x=3$. La demande ne dépasse jamais $3$, donc $\min (D,3)=D$ et $B=2D-3$ :

$$\begin{array}{ccccc}b& -3& -1& 1& 3\\ P(B=b)& 0,1& 0,3& 0,4& 0,2\end{array}E(B)=-0,3-0,3+0,4+0,6=0,4.$$

Conclusion. Les quatre espérances valent $0$ ; $0,8$ ; $1,0$ ; $0,4$ : le commerçant a intérêt à acheter deux exemplaires, pour un bénéfice moyen de $1$ € par jour.

Contrôle : chacune des quatre lois somme bien à $1$, et le bénéfice extrême $-x$ (aucune vente) comme le bénéfice maximal $x$ (tout vendu) sont cohérents avec l'énoncé. ✓

Le point qui fait tout l'intérêt du problème : la demande moyenne vaut $E(D)=0,3+0,8+0,6=1,7$, mais l'optimum n'est pas d'acheter $1,7$ arrondi à $2$ par hasard — c'est le résultat d'un arbitrage entre le manque à gagner d'une rupture de stock et la perte sèche d'un invendu. Le troisième exemplaire ne se vend qu'avec la probabilité $P(D=3)=0,2$ : il rapporte $2\times 0,2=0,40$ € en moyenne pour $1$ € de coût certain, d'où la chute de $1,00$ à $0,40$.

Prolongement : ce calcul est le problème du vendeur de journaux, l'un des modèles fondateurs de la gestion des stocks.