Soit X de loi P(X = -2) = 0,3, P(X = 1) = 0,5, P(X = 4) = 0,2. -…

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 11 — Variables aléatoires réelles · Espérance, dispersion et transformations affines

Énoncé

Soit $X$ de loi $P (X = - 2) = 0, 3$ , $P (X = 1) = 0, 5$ , $P (X = 4) = 0, 2$ .

Expliciter la fonction $g (x) = E ((X - x)^{2})$ sous forme développée.
Retrouver $E (X)$ et $V (X)$ à partir du sommet de la parabole de $g$ .

Corrigé

1. $E (X) = - 0, 6 + 0, 5 + 0, 8 = 0, 7$ et $E (X^{2}) = 1, 2 + 0, 5 + 3, 2 = 4, 9$ , donc

$g (x) = x^{2} - 2 \times 0, 7 x + 4, 9 = x^{2} - 1, 4 x + 4, 9.$

2. Sommet en $x = \frac{1 , 4}{2} = 0, 7 = E (X)$ ✓, de valeur $g (0, 7) = 0, 49 - 0, 98 + 4, 9 = 4, 41 = E (X^{2}) - E (X)^{2} = V (X)$ ✓ ( $σ = 2, 1$ ).

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