Un assureur propose un contrat annuel à €

Plaçons-nous du point de vue de l'assureur, et notons $R$ son résultat par contrat. Il encaisse $250$ € dans tous les cas, et verse $3000$ € ou $10000$ € selon le sinistre. Les deux sinistres étant incompatibles, « aucun sinistre » a pour probabilité $1-0,04-0,005=0,955$.

$$\begin{array}{cccc}r& 250& -2750& -9750\\ P(R=r)& 0,955& 0,040& 0,005\end{array}$$

Espérance.

$$E(R)=0,955\times 250+0,040\times (-2750)+0,005\times (-9750)=238,75-110-48,75=80\text{€}.$$

Contrôle par une seconde méthode. L'espérance du montant versé vaut $0,04\times 3000+0,005\times 10000=120+50=170$ €, d'où $E(R)=250-170=80$ €. ✓

Le métier de l'assureur tient dans ce nombre : la prime, $250$ €, dépasse le coût moyen du risque, $170$ €. Les $80$ € d'écart couvrent ses frais, sa marge — et la fluctuation : sur un seul contrat, il perd presque toujours ou gagne gros, mais sur des dizaines de milliers de contrats la moyenne se rapproche de $80$ € (c'est la propriété d'échantillonnage de la fin du chapitre).