Un jeu coûte € de mise

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 11 — Variables aléatoires réelles · Déterminer une loi, calculer un gain

Énoncé

Un jeu coûte $2$ € de mise. On lance un dé équilibré : le $6$ rapporte $5$ €, un $4$ ou un $5$ rapporte $2$ €, les autres résultats ne rapportent rien. On note $G$ le gain algébrique (recette moins mise).

Déterminer la loi de $G$ .
Calculer $E (G)$ et $σ (G)$ .
Le jeu est-il favorable au joueur ? Quelle mise le rendrait équitable ?

Corrigé

1. Le $6$ donne $G = 5 - 2 = 3$ , le $4$ ou le $5$ donnent $G = 0$ , les trois autres faces donnent $G = - 2$ :

$g P (G = g) 3 \frac{1}{6} 0 \frac{2}{6} - 2 \frac{3}{6}$

2. $E (G) = \frac{3}{6} + 0 - \frac{6}{6} = - 0, 5$ €. Puis $E (G^{2}) = \frac{9}{6} + 0 + \frac{4 \times 3}{6} = 1, 5 + 2 = 3, 5$ , donc

$V (G) = 3, 5 - (- 0, 5)^{2} = 3, 25, σ (G) = 3, 25 \approx 1, 80 € .$

3. $E (G) < 0$ : le jeu est défavorable au joueur, qui perd en moyenne $0, 50$ € par partie. L'espérance de la recette vaut $\frac{5}{6} + \frac{2 \times 2}{6} = \frac{9}{6} = 1, 50$ € : le jeu serait équitable pour une mise de $1, 50$ €.

Contrôle : avec $m = 1, 50$ , $E (G) = 1, 50 - 1, 50 = 0$ . ✓

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