Un jeu coûte € de mise

1. Le $6$ donne $G=5-2=3$, le $4$ ou le $5$ donnent $G=0$, les trois autres faces donnent $G=-2$ :

$$\begin{array}{cccc}g& 3& 0& -2\\ P(G=g)& \frac{1}{6}& \frac{2}{6}& \frac{3}{6}\end{array}$$

2. $E(G)=\frac{3}{6}+0-\frac{6}{6}=-0,5$ €. Puis $E(G^2)=\frac{9}{6}+0+\frac{4\times 3}{6}=1,5+2=3,5$, donc

$$V(G)=3,5-(-0,5{)}^2=3,25,\sigma (G)=\sqrt{3,25}\approx 1,80\text{€}.$$

3. $E(G)<0$ : le jeu est défavorable au joueur, qui perd en moyenne $0,50$ € par partie. L'espérance de la recette vaut $\frac{5}{6}+\frac{2\times 2}{6}=\frac{9}{6}=1,50$ € : le jeu serait équitable pour une mise de $1,50$ €.

Contrôle : avec $m=1,50$, $E(G)=1,50-1,50=0$. ✓