Un questionnaire comporte 3 questions à choix multiples, chacune…

Chaque question est un succès avec la probabilité $\frac{1}{4}$ et un échec avec la probabilité $\frac{3}{4}$, indépendamment des autres. Sur l'arbre à trois niveaux, un chemin menant à $k$ bonnes réponses pèse ${\left(\frac{1}{4}\right)}^k{\left(\frac{3}{4}\right)}^{3-k}$, et il y a $1,3,3,1$ chemins pour $k=0,1,2,3$ (la ou les bonnes réponses peuvent occuper n'importe quelle place).

$$\begin{array}{ccccc}k& 0& 1& 2& 3\\ P(X=k)& \frac{27}{64}& \frac{27}{64}& \frac{9}{64}& \frac{1}{64}\end{array}$$

En détail : $P(X=0)={\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{27}{64}$ ; $P(X=1)=3\times \frac{1}{4}\times \frac{9}{16}=\frac{27}{64}$ ; $P(X=2)=3\times \frac{1}{16}\times \frac{3}{4}=\frac{9}{64}$ ; $P(X=3)=\frac{1}{64}$.

Contrôle : $27+27+9+1=64$. ✓

Espérance.

$$E(X)=\frac{0\times 27+1\times 27+2\times 9+3\times 1}{64}=\frac{48}{64}=\frac{3}{4}=0,75.$$

Lecture : en répondant au hasard, on obtient en moyenne $0,75$ bonne réponse sur trois — soit $3\times \frac{1}{4}$, ce qui n'a rien d'une coïncidence : c'est la formule $E(X)=np$ de la loi binomiale, démontrée dans les exercices supplémentaires. Notez au passage que $P(X=0)$ et $P(X=1)$ sont égales : le mode de cette loi n'est pas unique.