Une tombola vend billets à € pièce

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 11 — Variables aléatoires réelles · Espérance et gains

Énoncé

Une tombola vend $500$ billets à $2$ € pièce. Elle offre un lot de $200$ €, deux lots de $50$ € et dix lots de $10$ €. On note $G$ le gain algébrique de l'acheteur d'un billet. Déterminer la loi de $G$ , calculer $E (G)$ et interpréter le résultat.

Corrigé

Loi de $G$ . Le gain est algébrique : le prix du billet, $2$ €, est retranché dans tous les cas. Sur les $500$ billets, $1$ rapporte $200 - 2 = 198$ €, $2$ rapportent $50 - 2 = 48$ €, $10$ rapportent $10 - 2 = 8$ €, et les $500 - 13 = 487$ autres font perdre $2$ €.

$g P (G = g) - 2 \frac{487}{500} 8 \frac{10}{500} 48 \frac{2}{500} 198 \frac{1}{500}$

Contrôle : $487 + 10 + 2 + 1 = 500$ . ✓

Espérance.

$E (G) = \frac{- 2 \times 487 + 8 \times 10 + 48 \times 2 + 198 \times 1}{500} = \frac{- 974 + 80 + 96 + 198}{500} = \frac{- 600}{500} = - 1, 20 € .$

Contrôle par une seconde méthode : la valeur totale des lots vaut $200 + 2 \times 50 + 10 \times 10 = 400$ €, répartie sur $500$ billets, soit $0, 80$ € de gain brut moyen par billet ; il reste $0, 80 - 2 = - 1, 20$ €. ✓

Interprétation : un acheteur perd en moyenne $1, 20$ € par billet. Le jeu est défavorable au joueur — et c'est bien le but : l'organisateur encaisse $500 \times 1, 20 = 600$ €, la différence entre les $1000$ € de recettes et les $400$ € de lots.

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