Une urne contient boules marquées, boules marquées et boule marquée

Exercice d'entraînement · niveau 1 (application) · mathématiques (première), chapitre 11 — Variables aléatoires réelles · Déterminer une loi

Énoncé

Une urne contient $3$ boules marquées $1$ , $2$ boules marquées $5$ et $1$ boule marquée $10$ . On tire une boule au hasard et l'on note $X$ le numéro obtenu. Donner la loi de $X$ et calculer $E (X)$ .

Corrigé

L'urne contient $3 + 2 + 1 = 6$ boules équiprobables, d'où la loi de $X$ :

$x_{i} P (X = x_{i}) 1 \frac{3}{6} = \frac{1}{2} 5 \frac{2}{6} = \frac{1}{3} 10 \frac{1}{6}$

Contrôle : $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3 + 2 + 1}{6} = 1$ . ✓

Espérance.

$E (X) = 1 \times \frac{1}{2} + 5 \times \frac{1}{3} + 10 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2} + \frac{5}{3} + \frac{5}{3} = \frac{3 + 10 + 10}{6} = \frac{23}{6} \approx 3, 83.$

Interprétation : en répétant un grand nombre de fois le tirage, la moyenne des numéros obtenus s'approche de $3, 83$ . Ce n'est pas la moyenne $\frac{1 + 5 + 10}{3}$ des trois valeurs ( $\approx 5, 33$ ) : l'espérance pondère chaque valeur par sa probabilité, et le numéro $1$ , trois fois plus fréquent, pèse d'autant.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.