Une variable a pour espérance et pour écart type

1. Intervalle de fluctuation. On applique le fait d'expérience admis dans le cours avec $\mu =8$, $\sigma =3$ et $n=900$ :

$$\frac{2\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{2\times 3}{\sqrt{900}}=\frac{6}{30}=0,2.$$

Dans environ $95\%$ des cas, la moyenne de l'échantillon appartient donc à

$$\left[8-0,2;8+0,2\right]=\left[7,8;8,2\right].$$

2. Taille pour une précision de $\pm 0,1$. On cherche $n$ tel que

$$\frac{2\times 3}{\sqrt{n}}\le 0,1⟺\sqrt{n}\ge \frac{6}{0,1}=60⟺n\ge 3600.$$

Il faut donc un échantillon d'au moins $3600$ individus.

Contrôle : $\frac{6}{\sqrt{3600}}=\frac{6}{60}=0,1$ exactement. ✓

Ce que dit le rapport des deux tailles : pour diviser la demi-largeur par $2$ ($0,2\to 0,1$), il a fallu multiplier l'effectif par $4$ ($900\to 3600$). La précision progresse en $\frac{1}{\sqrt{n}}$ : c'est lent, et c'est ce qui rend les sondages très précis si coûteux.