mathématiques (première) · Chapitre 11 · Application directe du cours

Une variable a pour espérance et pour variance

Variables aléatoires réelles · Espérance, variance et écart type · niveau 2

Énoncé

Une variable $X$ a pour espérance $12$ et pour variance $9$ . Calculer $E (3 X - 5)$ , $σ (3 X - 5)$ et $V (3 X - 5)$ . (On admettra $σ (a X + b) = ∣ a ∣ σ (X)$ .)

Corrigé

Par linéarité : $E (3 X - 5) = 3 \times 12 - 5 = 31$ .

Comme $σ (X) = 9 = 3$ : $σ (3 X - 5) = 3 \times 3 = 9$ , donc $V (3 X - 5) = 9^{2} = 81 = 3^{2} \times V (X)$ .

À retenir : la translation $- 5$ déplace l'espérance mais ne change rien à la dispersion ; le facteur $3$ multiplie l'écart type par $3$ et la variance par $9$ .

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