Une variable aléatoire prend les valeurs, et, avec, et

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 11 — Variables aléatoires réelles · Déterminer une loi, calculer un gain

Énoncé

Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $- 1$ , $0$ et $3$ , avec $P (X = - 1) = a$ , $P (X = 0) = 0, 5$ et $P (X = 3) = b$ . On sait de plus que $E (X) = 1$ .

Traduire les données par un système de deux équations d'inconnues $a$ et $b$ .
Résoudre, puis calculer $V (X)$ et $σ (X)$ .

Corrigé

1. La somme des probabilités vaut $1$ et l'espérance vaut $1$ :

${a + 0, 5 + b = 1 - a + 3 b = 1 soit {a + b = 0, 5 - a + 3 b = 1.$

2. En additionnant : $4 b = 1, 5$ , donc $b = 0, 375$ et $a = 0, 125$ . Ces deux nombres sont bien dans $[0; 1]$ : la loi est valide. Ensuite

$E (X^{2}) = 1 \times 0, 125 + 0 + 9 \times 0, 375 = 3, 5,$

$V (X) = 3, 5 - 1^{2} = 2, 5, σ (X) = 2, 5 \approx 1, 58.$

Contrôle : $E (X) = - 0, 125 + 0 + 1, 125 = 1$ . ✓

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