Une variable prend les valeurs, et, avec,,, et

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 11 — Variables aléatoires réelles · Déterminer une loi

Énoncé

Une variable $X$ prend les valeurs $1$ , $2$ et $4$ , avec $P (X = 1) = 0, 2$ , $P (X = 2) = a$ , $P (X = 4) = b$ , et $E (X) = 2, 8$ . Déterminer $a$ et $b$ , puis $V (X)$ et $σ (X)$ . (Deux conditions, deux inconnues : la somme des probabilités et l'espérance.)

Corrigé

Les deux équations. La somme des probabilités vaut $1$ et l'espérance vaut $2, 8$ :

${0, 2 + a + b = 1 1 \times 0, 2 + 2 a + 4 b = 2, 8 ⟺ {a + b = 0, 8 2 a + 4 b = 2, 6 ⟺ {a + b = 0, 8 a + 2 b = 1, 3.$

Par soustraction, $b = 0, 5$ , puis $a = 0, 3$ .

$x_{i} P (X = x_{i}) 1 0, 2 2 0, 3 4 0, 5$

Variance et écart type. Par la formule de König-Huygens :

$E (X^{2}) = 0, 2 \times 1 + 0, 3 \times 4 + 0, 5 \times 16 = 0, 2 + 1, 2 + 8 = 9, 4,$

$V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2} = 9, 4 - 2, 8^{2} = 9, 4 - 7, 84 = 1, 56, σ (X) = 1, 56 \approx 1, 25.$

Contrôle par la définition :

$0, 2 (1 - 2, 8)^{2} + 0, 3 (2 - 2, 8)^{2} + 0, 5 (4 - 2, 8)^{2} = 0, 648 + 0, 192 + 0, 720 = 1, 56. ✓$

Contrôle de vraisemblance : $a$ et $b$ sont bien des probabilités, comprises entre $0$ et $1$ — un système qui donnerait un nombre négatif signalerait un énoncé impossible.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.