Conjecturer la limite de chacune des suites, en justifiant brièvement

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 2 — Suites numériques, modèles discrets · Variations, limites et algorithmes

Énoncé

Conjecturer la limite de chacune des suites, en justifiant brièvement :

$(a) u_{n} = 2 + \frac{5}{n + 1}; (b) v_{n} = 0, 9 5^{n}; (c) w_{n} = 3 \times 1, 2^{n}; (d) t_{n} = 4 + (- 1)^{n} .$

Corrigé

(a) $\frac{5}{n + 1}$ tend vers $0$ quand $n$ devient grand, donc $u_{n} \to 2$ . (b) Suite géométrique de raison $0, 95$ , comprise entre $0$ et $1$ : $v_{n} \to 0$ . (c) Suite géométrique de raison $1, 2 > 1$ , de premier terme positif : $w_{n} \to + \infty$ . (d) $t_{n}$ vaut $5$ pour $n$ pair et $3$ pour $n$ impair : les termes oscillent indéfiniment entre deux valeurs, la suite n'a pas de limite. Piège classique : croire que $t_{n}$ tend vers $4$ parce que les valeurs sont « centrées » sur $4$ . Une limite exige que les termes se rapprochent et restent près de la valeur, ce que l'oscillation interdit.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.