Deux formules d'abonnement à un service

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 2 — Suites numériques, modèles discrets · Suites arithmétiques et géométriques

Énoncé

Deux formules d'abonnement à un service :

Offre A : $200$ € la première année, puis $30$ € de plus chaque année ;
Offre B : $150$ € la première année, puis une hausse de $12 %$ par an.

Comparer le prix de la dixième année, puis le coût cumulé sur dix ans. (Une suite est arithmétique, l'autre géométrique : les deux formules de somme du cours suffisent.)

Corrigé

Offre A — suite arithmétique de premier terme $a_{1} = 200$ et de raison $30$ :

$a_{n} = 200 + 30 (n - 1), a_{10} = 200 + 270 = 470 € .$

Coût cumulé sur dix ans : $10 \times \frac{a _{1} + a _{10}}{2} = 10 \times \frac{200 + 470}{2} = 3350$ €. Offre B — suite géométrique de premier terme $b_{1} = 150$ et de raison $1, 12$ :

$b_{n} = 150 \times 1, 1 2^{n - 1}, b_{10} = 150 \times 1, 1 2^{9} \approx 415, 96 € .$

Coût cumulé : $150 \times \frac{1 - 1 , 1 2 ^{10}}{1 - 1 , 12} \approx 2632, 31$ €. Conclusion. La dixième année, l'offre B est moins chère ( $416$ € contre $470$ €), et le cumul sur dix ans lui est nettement favorable ( $2632$ € contre $3350$ €). Mais : la croissance géométrique finit toujours par l'emporter sur la croissance arithmétique. Dès la treizième année, $b_{13} \approx 585$ € dépasse $a_{13} = 560$ € — l'avantage de B n'est que provisoire.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.