Étudier le sens de variation de

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 2 — Suites numériques, modèles discrets · Variations, limites et algorithmes

Énoncé

Étudier le sens de variation de :

$(a) u_{n} = n^{2} - 10 n + 3; (b) v_{n} = 5 \times 0, 9^{n}; (c) w_{n} = \frac{n}{n + 1} .$

(Pour (c), on pourra calculer $w_{n + 1} - w_{n}$ et réduire au même dénominateur.)

Corrigé

(a) $u_{n + 1} - u_{n} = (n + 1)^{2} - 10 (n + 1) - n^{2} + 10 n = 2 n - 9$ , négatif pour $n \leq 4$ et positif pour $n \geq 5$ : la suite décroît jusqu'au rang $5$ , puis croît. Son minimum est $u_{5} = 25 - 50 + 3 = - 22$ . (b) Suite géométrique de raison $0, 9 \in] 0; 1 [$ et de premier terme $5 > 0$ : elle est strictement décroissante. (c) Pour tout entier $n$ :

$w_{n + 1} - w_{n} = \frac{n + 1}{n + 2} - \frac{n}{n + 1} = \frac{( n + 1 ) ^{2} - n ( n + 2 )}{( n + 1 ) ( n + 2 )} = \frac{1}{( n + 1 ) ( n + 2 )} > 0.$

La suite est strictement croissante. Contrôle sur (c) : $w_{0} = 0$ , $w_{1} = \frac{1}{2}$ , $w_{2} = \frac{2}{3}$ , $w_{3} = \frac{3}{4}$ — croissante, et manifestement toujours inférieure à $1$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.