Étudier le sens de variation des suites

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 2 — Suites numériques, modèles discrets · Variations, seuils et algorithmes

Énoncé

Étudier le sens de variation des suites :

$(a) u_{n} = n^{2} - 8 n; (b) v_{n} = \frac{3 ^{n}}{n + 1} (n \geq 0) .$

Corrigé

(a) $u_{n + 1} - u_{n} = (n + 1)^{2} - 8 (n + 1) - n^{2} + 8 n = 2 n - 7$ , qui est négatif pour $n \leq 3$ et positif pour $n \geq 4$ . La suite est donc décroissante jusqu'au rang $4$ , puis croissante : elle n'est ni croissante ni décroissante sur tout $N$ . Son minimum est $u_{4} = - 16$ .

Contrôle : $u_{3} = - 15$ , $u_{4} = - 16$ , $u_{5} = - 15$ — la suite passe bien par un creux en $n = 4$ , et le tableau de signes de $2 n - 7$ l'avait annoncé.<br> (b) Termes strictement positifs ; $\frac{v _{n + 1}}{v _{n}} = 3 \times \frac{n + 1}{n + 2} \geq 3 \times \frac{1}{2} > 1$ : la suite est strictement croissante.

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