On construit des carrés avec des allumettes

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 2 — Suites numériques, modèles discrets · Modes de génération et relations de récurrence

Énoncé

On construit des carrés avec des allumettes : une allumette par côté, les carrés étant accolés en ligne. On note $a_{n}$ le nombre d'allumettes nécessaires pour $n$ carrés.

Calculer $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ . Établir une relation de récurrence.
En déduire une formule explicite de $a_{n}$ et calculer $a_{50}$ .

Corrigé

1. $a_{1} = 4$ ; chaque carré supplémentaire, accolé au précédent, n'exige que $3$ allumettes : $a_{2} = 7$ , $a_{3} = 10$ , et $a_{n + 1} = a_{n} + 3$ .<br> 2. Suite arithmétique de raison $3$ et de premier terme $a_{1} = 4$ : $a_{n} = 4 + 3 (n - 1) = 3 n + 1$ . D'où $a_{50} = 151$ .

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