On construit une frise de triangles équilatéraux accolés côte à côte…

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 2 — Suites numériques, modèles discrets · Modes de génération

Énoncé

On construit une frise de triangles équilatéraux accolés côte à côte, chacun partageant un côté avec le précédent ; on note $t_{n}$ le nombre d'allumettes nécessaires pour $n$ triangles.

Calculer $t_{1}$ , $t_{2}$ , $t_{3}$ et établir une relation de récurrence.
En déduire une formule explicite de $t_{n}$ , puis $t_{40}$ .

Corrigé

1. Le premier triangle demande $3$ allumettes ; chaque triangle suivant s'appuie sur un côté déjà posé et n'en coûte donc que $2$ :

$t_{1} = 3, t_{2} = 5, t_{3} = 7, et t_{n + 1} = t_{n} + 2.$

2. La suite $(t_{n})$ est arithmétique de raison $2$ et de premier terme $t_{1} = 3$ , donc

$t_{n} = t_{1} + (n - 1) \times 2 = 2 n + 1, d’o u ˋ t_{40} = 81.$

Contrôle : la formule redonne $t_{1} = 3$ , $t_{2} = 5$ , $t_{3} = 7$ . ✓ Erreur attendue : écrire $t_{n} = t_{1} + 2 n$ , en oubliant que le premier terme est de rang $1$ et non $0$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.