Un lac contient tonnes d'algues

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 2 — Suites numériques, modèles discrets · Suites arithmétiques, suites géométriques et sommes

Énoncé

Un lac contient $500$ tonnes d'algues. Chaque année, $40 %$ de la masse d'algues disparaît naturellement, puis $30$ tonnes de nouvelles algues apparaissent. On note $a_{0} = 500$ et $a_{n}$ la masse d'algues (en tonnes) au bout de $n$ années.

Justifier que $a_{n + 1} = 0, 6 a_{n} + 30$ , puis calculer $a_{1}$ et $a_{2}$ .
On pose $b_{n} = a_{n} - 75$ . Montrer que $(b_{n})$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme.
En déduire l'expression de $a_{n}$ en fonction de $n$ , puis conjecturer la limite de $(a_{n})$ . Interpréter.

Corrigé

1. Perdre $40 %$ , c'est multiplier par $1 - 0, 40 = 0, 60$ ; on ajoute ensuite $30$ : $a_{n + 1} = 0, 6 a_{n} + 30$ . D'où $a_{1} = 0, 6 \times 500 + 30 = 330$ et $a_{2} = 0, 6 \times 330 + 30 = 228$ tonnes.

2. Pour tout entier $n$ :

$b_{n + 1} = a_{n + 1} - 75 = 0, 6 a_{n} + 30 - 75 = 0, 6 a_{n} - 45 = 0, 6 (a_{n} - 75) = 0, 6 b_{n} .$

La suite $(b_{n})$ est donc géométrique de raison $q = 0, 6$ , de premier terme $b_{0} = 500 - 75 = 425$ .

3. Ainsi $b_{n} = 425 \times 0, 6^{n}$ , et comme $a_{n} = b_{n} + 75$ :

$a_{n} = 425 \times 0, 6^{n} + 75.$

Comme $0 < 0, 6 < 1$ , la suite $(0, 6^{n})$ tend vers $0$ : la masse d'algues tend vers $75$ tonnes. Le lac se stabilise, quelle que soit sa charge initiale.

Contrôle : la valeur $75$ est le « point fixe » de la relation, celle qui ne bouge plus : $0, 6 \times 75 + 30 = 45 + 30 = 75$ . ✓ Et la formule redonne $a_{1} = 425 \times 0, 6 + 75 = 255 + 75 = 330$ . ✓

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