mathématiques (première) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Une rente est placée ainsi

Suites numériques, modèles discrets · Variations, seuils et algorithmes · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Une rente est placée ainsi : on dépose $1000$ € chaque 1^er janvier sur un compte à $4 %$ par an. On note $c_{n}$ le capital juste après le dépôt de l'année $n$ (avec $c_{0} = 1000$ ).

Justifier que $c_{n + 1} = 1, 04 c_{n} + 1000$ .
Montrer que la suite $v_{n} = c_{n} + 25000$ est géométrique ; en déduire $c_{n}$ puis le capital après le dépôt de l'année $20$ .

Corrigé

1. D'une année sur l'autre, le capital produit $4 %$ d'intérêts (multiplication par $1, 04$ ) puis reçoit le nouveau dépôt de $1000$ €.
2. $v_{n + 1} = c_{n + 1} + 25000 = 1, 04 c_{n} + 26000 = 1, 04 (c_{n} + 25000) = 1, 04 v_{n}$ : géométrique de raison $1, 04$ et $v_{0} = 26000$ . Donc $v_{n} = 26000 \times 1, 0 4^{n}$ et

$c_{n} = 26000 \times 1, 0 4^{n} - 25 000.$

Pour $n = 20$ : $c_{20} = 26000 \times 1, 0 4^{20} - 25000 \approx 31969$ € (pour $21000$ € déposés).

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