Vers le nombre. On pose, où. - Calculer,, …, (six décimales). -…

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 2 — Suites numériques, modèles discrets · Vers la terminale

Énoncé

Vers le nombre $e$ . On pose $s_{n} = 1 + \frac{1}{1 !} + \frac{1}{2 !} + \dots + \frac{1}{n !}$ , où $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$ .

Calculer $s_{1}$ , $s_{2}$ , …, $s_{6}$ (six décimales).
Comparer à $e \approx 2, 718282$ : combien de termes faut-il pour obtenir quatre décimales exactes ?
Écrire une fonction Python calculant $s_{n}$ .

(La fonction exponentielle est étudiée au chapitre 6, mais cette écriture de $e$ comme somme est une notion de terminale et au-delà.)

Corrigé

1. En ajoutant successivement $\frac{1}{n !}$ :

$s_{1} = 2; s_{2} = 2, 500000; s_{3} = 2, 666667; s_{4} = 2, 708333; s_{5} = 2, 716667; s_{6} = 2, 718056.$

2. Avec $e \approx 2, 718282$ : $s_{6} = 2, 718056$ ne donne que trois décimales exactes, tandis que

$s_{7} = 2, 718254,$

qui coïncide avec $e$ jusqu'à la quatrième décimale ( $2, 7182$ ). Il faut donc sept termes au-delà du $1$ initial. La convergence est très rapide : $s_{9} = 2, 718282$ donne déjà six décimales. 3.


def somme_e(n):
    s, f = 1.0, 1.0     # f vaut k! au tour k
    for k in range(1, n + 1):
        f = f * k
        s = s + 1 / f
    return s

Prolongement : cette écriture est un cas particulier des séries entières, étudiées dans le supérieur ; elle reste la façon la plus efficace de calculer $e$ à la main.

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