Discuter, selon le réel, le nombre de solutions de l'équation

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 3 — Fonctions polynômes du second degré · Formes, racines et paramètres

Énoncé

Discuter, selon le réel $m$ , le nombre de solutions de l'équation $x^{2} - 2 x + m = 0$ . Préciser les solutions lorsqu'il y en a.

Corrigé

$Δ = (- 2)^{2} - 4 m = 4 - 4 m = 4 (1 - m)$ . Le signe de $Δ$ est celui de $1 - m$ .

Si $m < 1$ , $Δ > 0$ : deux solutions distinctes, $x = \frac{2 \pm 2 1 - m}{2} = 1 \pm 1 - m$ .

Si $m = 1$ , $Δ = 0$ : une solution double, $x = 1$ (et $f (x) = (x - 1)^{2}$ ).

Si $m > 1$ , $Δ < 0$ : aucune solution réelle.

Contrôle : les deux solutions sont symétriques par rapport à $1$ , qui est bien l'abscisse du sommet $- \frac{b}{2 a} = 1$ — elle ne dépend pas de $m$ , seule la « largeur » $1 - m$ en dépend.

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