Discuter, selon le réel, le nombre de solutions de l'équation

$\Delta =(-2{)}^2-4m=4-4m=4(1-m)$. Le signe de $\Delta$ est celui de $1-m$.

Si $m<1$, $\Delta >0$ : deux solutions distinctes, $x=\frac{2\pm 2\sqrt{1-m}}{2}=1\pm \sqrt{1-m}$.

Si $m=1$, $\Delta =0$ : une solution double, $x=1$ (et $f(x)=(x-1{)}^2$).

Si $m>1$, $\Delta <0$ : aucune solution réelle.

Contrôle : les deux solutions sont symétriques par rapport à $1$, qui est bien l'abscisse du sommet $-\frac{b}{2a}=1$ — elle ne dépend pas de $m$, seule la « largeur » $\sqrt{1-m}$ en dépend.