mathématiques (première) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Parmi tous les rectangles de périmètre 40 cm, déterminer celui d'aire…

Fonctions polynômes du second degré · Inéquations, signe et optimisation · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Parmi tous les rectangles de périmètre $40$ cm, déterminer celui d'aire maximale.

Corrigé

Notons $x$ une dimension : l'autre vaut $20 - x$ (demi-périmètre), avec $0 < x < 20$ . L'aire est

$A (x) = x (20 - x) = - x^{2} + 20 x = - (x - 10)^{2} + 100.$

Forme canonique : maximum $100$ cm $^{2}$ atteint pour $x = 10$ , donc pour le carré de côté $10$ cm. (À périmètre fixé, le carré maximise l'aire.)

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