Soient et les racines de

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 3 — Fonctions polynômes du second degré · Le trinôme sous un autre angle

Énoncé

Soient $x_{1}$ et $x_{2}$ les racines de $x^{2} - 5 x + 3 = 0$ . Calculer $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ puis $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$ sans calculer les racines. (Tout s'exprime avec la somme et le produit.)

Corrigé

Somme $S = 5$ , produit $P = 3$ (relations coefficients-racines). $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 25 - 6 = 19$ . $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} x _{2}} = \frac{5}{3}$ . Tout l'intérêt : $Δ = 13$ n'est pas un carré, les racines sont irrationnelles — les calculer serait pénible et inutile.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.