Approximation affine. Près de a, la courbe se confond presque avec sa…

1. Racine carrée. Avec $f(x)=\sqrt{x}$, $a=4$ et $h=0,02$ : $f(4)=2$ et $f^{\prime }(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}$, d'où

$$\sqrt{4,02}\approx 2+0,02\times \frac{1}{4}=2,005.$$

Inverse. Avec $f(x)=\frac{1}{x}$, $a=1$ et $h=0,01$ : $f(1)=1$ et $f^{\prime }(1)=-1$, d'où

$$\frac{1}{1,01}\approx 1-0,01=0,99.$$

2. La calculatrice donne $\sqrt{4,02}=2,0049938\dots$ : l'erreur vaut environ $6\times 10^{-6}$, et les quatre premières décimales de l'approximation sont exactes ($2,0050$). Et $\frac{1}{1,01}=0,9900990\dots$ : l'erreur vaut environ $10^{-4}$, et seules les trois premières décimales le sont ($0,990$). Pourquoi la seconde est moins bonne : l'erreur de l'approximation affine croît avec la courbure. Celle de $x\mapsto \frac{1}{x}$ en $1$ est bien plus forte que celle de la racine carrée en $4$, où la courbe est presque droite.