mathématiques (première) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Dériver, puis simplifier l'écriture obtenue

Dérivation · Calculs de dérivées et premières applications · niveau 2

Énoncé

Dériver, puis simplifier l'écriture obtenue :

$f (x) = \frac{3 x - 1}{x ^{2} + 1}$ sur $R$ ;
$g (x) = (x^{2} - 4) x$ sur $] 0; + \infty [$ ;
$h (x) = \frac{1}{( 2 x + 5 ) ^{2}}$ sur $] - \frac{5}{2}; + \infty [$ ;
$k (x) = \frac{x ^{2} - 3 x}{x - 1}$ sur $] 1; + \infty [$ .

Corrigé de la question 1

1. Quotient, avec $u = 3 x - 1$ , $u^{'} = 3$ , $v = x^{2} + 1$ , $v^{'} = 2 x$ :

$f^{'} (x) = \frac{3 ( x ^{2} + 1 ) - ( 3 x - 1 ) 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{3 x ^{2} + 3 - 6 x ^{2} + 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{- 3 x ^{2} + 2 x + 3}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} .$

Question 2 : comment l'IA t'aide

2. $g (x) = (x^{2} - 4) x$ sur $] 0; + \infty [$ ;

Élève

Pour $g$ , c'est un produit, donc je pose $u = x^{2} - 4$ et $v = x$ . Après, je fais $u^{'} v + u v^{'}$ , c'est bien ça ?

Oui, la formule du produit est la bonne. Donne-moi $u^{'}$ et $v^{'}$ séparément, puis écris $u^{'} v + u v^{'}$ sans chercher à simplifier tout de suite.

Élève

$u^{'} = 2 x$ et $v^{'} = \frac{1}{2 x}$ . Donc $g^{'} (x) = 2 x x + (x^{2} - 4) \times \frac{1}{2 x}$ .

C'est correct. Maintenant, pour additionner ces deux termes, quel dénominateur commun peux-tu choisir ? Et comment réécris-tu le premier terme $2 x x$ avec ce dénominateur ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

Continue cet exercice avec l'IA

Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

Continuer avec l'IA — gratuit, sans inscription

Gratuit, sans inscription. L'IA te guide pas à pas, sans te donner la réponse.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Continuer avec l'IA, gratuit →