Dériver, puis simplifier l'écriture obtenue

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (première), chapitre 4 — Dérivation · Calculs de dérivées et premières applications

Énoncé

Dériver, puis simplifier l'écriture obtenue :

$f (x) = \frac{3 x - 1}{x ^{2} + 1}$ sur $R$ ;
$g (x) = (x^{2} - 4) x$ sur $] 0; + \infty [$ ;
$h (x) = \frac{1}{( 2 x + 5 ) ^{2}}$ sur $] - \frac{5}{2}; + \infty [$ ;
$k (x) = \frac{x ^{2} - 3 x}{x - 1}$ sur $] 1; + \infty [$ .

Corrigé

1. Quotient, avec $u = 3 x - 1$ , $u^{'} = 3$ , $v = x^{2} + 1$ , $v^{'} = 2 x$ :

$f^{'} (x) = \frac{3 ( x ^{2} + 1 ) - ( 3 x - 1 ) 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{3 x ^{2} + 3 - 6 x ^{2} + 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{- 3 x ^{2} + 2 x + 3}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} .$

2. Produit : $g^{'} (x) = 2 x x + (x^{2} - 4) \frac{1}{2 x}$ . En réduisant au dénominateur $2 x$ (et puisque $2 x x = \frac{4 x ^{2}}{2 x}$ ) :

$g^{'} (x) = \frac{4 x ^{2} + x ^{2} - 4}{2 x} = \frac{5 x ^{2} - 4}{2 x} .$

3. Inverse, avec $v = (2 x + 5)^{2}$ et $v^{'} = 2 \times 2 (2 x + 5) = 4 (2 x + 5)$ :

$h^{'} (x) = - \frac{4 ( 2 x + 5 )}{( 2 x + 5 ) ^{4}} = \frac{- 4}{( 2 x + 5 ) ^{3}} .$

4. Quotient, avec $u = x^{2} - 3 x$ , $u^{'} = 2 x - 3$ , $v = x - 1$ , $v^{'} = 1$ :

$k^{'} (x) = \frac{( 2 x - 3 ) ( x - 1 ) - ( x ^{2} - 3 x )}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{2 x ^{2} - 5 x + 3 - x ^{2} + 3 x}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} - 2 x + 3}{( x - 1 ) ^{2}} .$

Contrôle : le numérateur $x^{2} - 2 x + 3$ a pour discriminant $4 - 12 = - 8 < 0$ et un coefficient dominant positif : il est strictement positif. Donc $k^{'} > 0$ et $k$ est strictement croissante sur $] 1; + \infty [$ — ce que la calculatrice confirme.

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