La dérivée seconde est au programme de terminale

Exercice supplémentaire · niveau 3 (difficile) · mathématiques (première), chapitre 4 — Dérivation · Vers la terminale

Énoncé

La dérivée seconde $f^{''} = (f^{'})^{'}$ est au programme de terminale.

Calculer $f^{''}$ pour $f (x) = x^{3} - 3 x$ , puis pour $g (x) = x$ .
Étudier le signe de $f^{''}$ et déterminer le réel où elle s'annule en changeant de signe : ce point est appelé point d'inflexion.
Vérifier sur un tracé que la courbe de $f$ y traverse sa tangente.

Corrigé

1. Pour $f (x) = x^{3} - 3 x$ : $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ , puis $f^{''} (x) = 6 x$ . Pour $g (x) = x$ sur $] 0; + \infty [$ : $g^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$ , puis

$g^{''} (x) = - \frac{1}{4 x x} < 0.$

2. $f^{''} (x) = 6 x$ est négative pour $x < 0$ , positive pour $x > 0$ , et s'annule en $0$ en changeant de signe : l'origine est un point d'inflexion de la courbe de $f$ . 3. La tangente en $0$ a pour équation $y = f^{'} (0) x + f (0) = - 3 x$ . Or

$f (x) - (- 3 x) = x^{3} - 3 x + 3 x = x^{3},$

qui change de signe en $0$ : la courbe traverse bien sa tangente en ce point, ce que confirme le tracé. À noter : la dérivée seconde de est partout négative — la courbe de la racine carrée est concave sur tout son domaine, sans aucun point d'inflexion.

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